Metrinės erdvės užbaigtumo neišsaugotas homeomorfizmo.
Ką išsaugo homeomorfizmas?
Homeomorfizmas, dar vadinamas nuolatine transformacija, yra dviejų geometrinių figūrų arba topologinių erdvių taškų ekvivalentiškumo santykis ir vienas su vienu atitikimas, kuris yra ištisinis abiem kryptimis. Homeomorfizmas, kuris taip pat išsaugo atstumus, vadinamas izometrija.
Ar homeomorfizmas išsaugo kompaktiškumą?
3.3 Kompaktiškų erdvių savybės
Anksčiau pažymėjome, kad kompaktiškumas yra topologinė tarpo savybė, tai yra jį išsaugo homeomorfizmas. Dar daugiau, jį išsaugo bet kuri nuolatinė funkcija.
Ar išsamumas yra topologinė savybė?
Išsamumas nėra topologinė savybė, t. y. negalima daryti išvados, ar metrinė erdvė yra užbaigta, vien pažvelgus į pagrindinę topologinę erdvę.
Kodėl ribotumas nėra topologinė savybė?
Metrinėms erdvėms turime ribotumo sąvoką: tai reiškia, kad metrinė erdvė yra ribojama, jei yra koks nors realusis skaičius M, kad d(x, y) ≤ M visiems x, y. Ribumas nėra topologinė savybė. Pavyzdžiui, (0, 1) ir (1, ∞) yra homeomorfiniai, bet vienas yra ribotas, o kitas ne. ∞ n=1 yra taškų seka X.
